Задача 109292

Темы:    [ Прямоугольные параллелепипеды ] [ Скалярное произведение ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Рёбра прямоугольного параллелепипеда равны a , b и c . Найдите угол между диагональю параллелепипеда и скрещивающейся с ней диагональю грани со сторонами a и b .

Решение

Пусть ABCDA1B1C1D1 – прямоугольный параллелепипед, в котором AA1|| BB1|| CC1|| DD1 , AB = a , AD = b , AA1 = c . Найдём угол между диагональю B1D параллелепипеда и диагональю AC грани ABCD . Пусть M и N – середины рёбер AA1 и CC1 . Прямые MN и B1D пересекаются в центре O параллелепипеда. Проведём сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через пересекающиеся прямые B1D и NM . Получим параллелограмм B1MDN . Так как MN || AC , то угол между скрещивающимися прямыми B1D и AC равен углу между диагоналями B1D и NN параллелограмма B1MDN . По теореме косинусов из треугольника NOD находим, что

cos NOD = = =

= = .
Пусть β угол между прямыми B1D и AC . Если a b , то
β = arccos .
Если же a > b , то
β = arccos .


Пусть ABCDA1B1C1D1 – прямоугольный параллелепипед, в котором AA1|| BB1|| CC1|| DD1 , AB = a , AD = b , AA1 = c . Обозначим = , = , = . Тогда
= + , = - + - .
Если β – угол между прямыми AC и B1D , то
cos β = = = .

Ответ

arccos .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8314