Задача 109294

Темы:    [ Прямоугольные параллелепипеды ] [ Теорема Пифагора в пространстве ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Пусть K , L и M – середины рёбер соответственно AD , A1B1 и CC1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 , в котором AB = a , AA1 = b , AD = c . Найдите отношение суммы квадратов сторон треугольника KLM к квадрату диагонали параллелепипеда.

Решение

Пусть K1 – ортогональная проекция точки K на плоскость грани A1B1C1D1 . Тогда K1 – середина ребра A1D1 , KK1 = AA1 = b , а K1L – средняя линия треугольника B1A1D1 . Из прямоугольных треугольников B1A1D1 и KK1L находим, что

B1D12 = A1B12 + A1D12 = a2 + c2, KL2 = B1D12 = (a2 + c2),

KL2 = KK12 + K1L2 = b2+ = .
Аналогично,
KM2 = , LM2 = ,
а т.к. DB12=a2+b2+c2 , то
= =

= = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8316