Задача 109329

Темы:    [ Правильная пирамида ] [ Сфера, касающаяся ребер или сторон пирамиды ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна a , боковое ребро равно b . Найдите радиус шара, касающегося всех рёбер пирамиды.

Решение

Пусть PM – высота правильной четырёхугольной пирамиды PABCD , r – искомый радиус. Поскольку пирамида правильная, центр Q сферы, касающейся всех рёбер пирамиды, лежит на прямой PM , а точки касания сферы со сторонами основания совпадают с серединами этих сторон. Если K и L – точки касания сферы с рёбрами AB и AP соответственно, то

QL AP, AK = , PL = AP - AL = b - = .
Из прямоугольного треугольника AMP находим, что
PM = = = .
Из подобия прямоугольных треугольников PLQ и PMA следует, что
= .
Значит,
r = QL = PL· = · = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8368