Информация о задаче

Задача 109332

Темы:	[	Правильная пирамида	]
Темы:	[	Сфера, касающаяся ребер или сторон пирамиды	]

Сложность: 3
Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна a, боковое ребро равно b. Найдите радиус шара, касающегося сторон основания и продолжений боковых рёбер пирамиды.

Решение

Пусть PM ─ высота правильной четырёхугольной пирамиды PABCD, r ─ искомый радиус. Поскольку пирамида правильная, центр Q указанной сферы лежит на прямой PM, а точки касания сферы со сторонами основания совпадают с серединами этих сторон. Если K и L ─ точки касания сферы соответственно с ребром AB и продолжением ребра AP за точку A, то

QL ⊥ AP,    AK =
a
2
,    PL = AP + AL = b +
a
2
=
2b + a
2
.

Из прямоугольного треугольника AMP находим, что

PM =
√ AP² − AM²
=
√
b² − (
a
√ 2
)
²

=
√ 2b² − a²
     √ 2
.

Из подобия прямоугольных треугольников PLQ и PMA следует, что QL : PL = AM : PM. Значит,

r = QL = PL ·
AM
PM
=
2b + a
2
·

a
√ 2

√ 2b² − a²
      √ 2
=
a(2b + a)
2√ 2b² − a²
.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8371