Задача 109341

Темы:    [ Cфера, вписанная в призму ] [ Боковая поверхность призмы ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Известно, что в некоторую призму можно вписать сферу. Найдите площадь её боковой поверхности, если площадь основания равна S.

Решение

Первый способ. Пусть S₁ ─ площадь боковой поверхности призмы, r ─ радиус вписанной сферы, V ─ объём призмы. Высота призмы равна 2r. Поэтому V = 2rS. Соединив центр сферы со всеми вершинами призмы, разобьём её на пирамиды с вершинами в центре сферы. Тогда

V = ⅓(S₁ + 2S) · r.

Из уравнения  2rS = ⅓(S₁ + 2S)r  находим, что S₁ = 4S.

Второй способ. Пусть P ─ периметр основания, r ─ радиус сферы, S₁ ─ площадь боковой поверхности. Поскольку в многоугольник-основание можно вписать окружность радиуса r, имеем: S = ½rP. Высота призмы равна 2r, поэтому S₁ = 2rP. Следовательно, S₁ = 4S.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8380