Условие
Даны скрещивающиеся прямые
a и
b и плоскость
α ,
перпендикулярная прямой
a и пересекающая её в точке
A . Докажите,
что расстояние между прямыми
a и
b равно расстоянию от точки
A до
ортогональной проекции
b' прямой
b на плоскость
α , а угол между
прямыми
b и
b' дополняет до
90
o угол между прямыми
a и
b .
Решение
Если прямые
b и
b' параллельны или совпадают, то утверждение
очевидно. Пусть прямые
b и
b' пересекаются в точке
D ,
B –
основание перпендикуляра, опущенного из точки
A на прямую
b' .
Прямая
a параллельна плоскости прямых
b и
b' , т.к. в этой
плоскости есть прямая, параллельная прямой
a (например, прямая
CC' ,
где
C – точка прямой
b , отличная от точки
D , а
C' –
ортогональная проекция точки
C на плоскость
α ). Тогда
AB –
расстояние от точки
A , лежащей на прямой
a , до плоскости, проходящей
через прямую
b параллельно прямой
a . Следовательно, рассстояние между
прямыми
a и
b равно
AB .
Так как прямая
CC' параллельна прямой
a , то угол между прямыми
a и
b равен углу между прямыми
CC' и
b , т.е. углу
C'CD , а угол
C'CD
дополняет до
90
o угол между прямой
b и плоскостью
α .
Источники и прецеденты использования
|
|
|
web-сайт |
|
Название |
Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
|
URL |
http://zadachi.mccme.ru |
|
задача |
|
Номер |
8406 |
