Условие
Вершины двух конусов с общим основанием радиуса
R и высотами,
равными
H и
h , расположены по разные стороны от основания. Найдите
угол и расстояние между двумя образующими этих конусов, если
известно, что их концы на окружности основания ограничивают
четверть окружности.
Решение
Пусть
A и
B – вершины данных конусов,
AK и
BM – указанные
образующие,
O – центр основания. По условию задачи
AO = H ,
BO = h ,
KOM = 90
o (рис.1).
Опустим перпендикуляр
OC из центра основания на прямую
AK . Так
как
OK 
OM , то по теореме о трёх перпендикулярах
AK OM .
Значит, прямая
AK перпендикулярна плоскости
OCM .
При ортогональном проектировании на эту плоскость прямая
AK
перейдёт в точку
C , а точка
B – в некоторую точку
B' (рис.2).
Плоскости
OCM и
AKB перпендикулярны, т.к. плоскость
OCM проходит
через перпендикуляр
OM к плоскости
AKB . Поэтому перпендикуляр
BB' к
плоскости
OCM лежит в плоскости
AKB , а точка
B' – на прямой
OC
пересечения этих плоскостей.
Рассмотрим плоскость
AKB . Из прямоугольного треугольника
AOK
находим, что
AK = 
= 
,
OC = 
= 
,
AC = 
= 
.
Так как
BB' OC и
AK OC , то
BB'|| AK . Треугольники
OB'B
и
OCA подобны с коэффициентом
, поэтому
OB' =· OC = 
,
BB' = · AC = 
.
Значит,
B'C = OC + OB' = + =
.
Пусть
α – угол между прямыми
AK и
BM . Так как
B'M –
ортогональная проекция прямой
BM на плоскость
OCM , то
α = 90
o - BMB' .
Следовательно,
cos α = sin BMB' = 
=
=
.
Из прямоугольного треугольника
BMB' находим, что
B'M = 
=
=
.
Так как точка
B' лежит на прямой
OC , то
OM B'C . Значит,
OM – высота треугольника
B'CM . Расстояние между прямыми
AK и
BM равно длине перпендикуляра
CP , опущенного из точки
C на ортогональную проекцию
B'M прямой
BM
на плоскость
OCM , перпендикулярную прямой
AK . Так как
CP – также
высота треугольника
B'CM , то
CP = 
=
=
.
Ответ
;
arccos .
Источники и прецеденты использования
|
|
|
web-сайт |
|
Название |
Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
|
URL |
http://zadachi.mccme.ru |
|
задача |
|
Номер |
8415 |
