Условие
Основание четырёхугольной пирамиды
PABCD – параллелограмм
ABCD ,
M – основание перпендикуляра, опущенного из точки
A на
BD . Известно, что
BP = DP . Докажите, что расстояние
от точки
M до середины ребра
AP равно половине ребра
CP .
Решение
Пусть
O – центр параллелограмма
ABCD ,
K – середина ребра
AP .
При ортогональном проектировании пирамиды на плоскость основания
вершина перейдёт в точку
P' , равноудалённую от точек
B и
D , а точка
K – в середину
K' отрезка
AP' .
Так как
OP' – серединный перпендикуляр к отрезку
BD , то
OP'|| AM . Средняя линия
K'L прямоугольной трапеции
AMOP'
перпендикулярна боковой стороне
OM , поэтому
K'L – серединный
перпендикуляр к отрезку
OM . Значит,
K'M = K'O , т.е. ортогональные
проекции наклонных
KM и
KO на плоскость
ABCD равны. Следовательно,
KM = KO , а т.к.
KO – средняя линия треугольника
APC , то
KM = KO = 
PC .
Источники и прецеденты использования
|
|
|
web-сайт |
|
Название |
Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
|
URL |
http://zadachi.mccme.ru |
|
задача |
|
Номер |
8416 |
