|
|
 |
Условие
Докажите, что если суммы плоских углов при трёх вершинах треугольной пирамиды равны по 180o , то все грани этой пирамиды – равные треугольники (т.е. тетраэдр является равногранным).Решение
Пусть в треугольной пирамиде $ABCD$ суммы трёх плоских углов при каждой из вершин $A$, $B$ и $C$ равны по $180^\circ$.
Рассмотрим развёртку $D_1AD_2CD_3B$ пирамиды $ABCD$ на плоскость треугольника $ABC$, причём точки $D_1$, $D_2$ и $D_3$ – вершины треугольников с основаниями $AB$, $AC$ и $BC$ соответственно. Поскольку суммы трёх плоских углов при каждой из вершин $A$, $B$ и $C$ тетраэдра $ABCD$ равны по $180^\circ$, точка $A$ лежит на отрезке $D_1D_2$, точка $B$ – на отрезке $D_1D_3$, а точка $C$ – на отрезке $D_2D_3$, причём $A$, $B$ и $C$ – середины этих отрезков. Поэтому $AB$, $BC$ и $AC$ – средние линии треугольника $D_1D_2D_3$. Значит, треугольники $D_1AB$, $AD_2C$, $BCD_2$ и $CBA$ равны. Следовательно, равны и треугольники $DAB$, $ADC$, $BCD$ и $CBA$, т.е. тетраэдр $ABCD$ – равногранный.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 8418 |
