Задача 109360

Темы:    [ Свойства разверток ] [ Тетраэдр (прочее) ] [ Против большей стороны лежит больший угол ] [ Неравенства для элементов треугольника (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Условие

Может ли квадрат являться развёрткой некоторой треугольной пирамиды?

Решение

  Рассмотрим квадрат AD₁D₂D₃, в котором точки В и С – середины сторон D₁D₂ и D₂D₃ соответственно (см. рис.). При его сгибании по прямым АВ, ВС и АС точки D₁, D₂ и D₃ совместятся в одной точке D, образуя пирамиду ABCD.

  Осталось показать, что пирамида будет "невырожденной", то есть точки А, В, С и D не окажутся в одной плоскости. Ввиду симметрии достаточно проверить, что  ∠ВАD₂ < ∠ВАD₁.

  Первый способ. В треугольнике AD₁D₂  АВ – медиана, AD₁ – высота, биссектриса, проведённая из вершины А, лежит между ними, поэтому
∠ВАD₁ > ∠ВАD₂.

  Второй способ. Пусть O – центр квадрата. Поскольку, очевидно,  AO > BO,  то  ∠ВАD₁ = ∠АBO > ∠BAO = ∠ВАD₂.

Замечания

1. Вместо неравенства  ∠ВАD₂ < ∠ВАD₁  можно проверить неравенство  АD₁ + KD₂ > АK.

2. Других квадратных развёрток тетраэдра не существует, но доказать это довольно сложно.

2. 7 баллов.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8419
олимпиада
Название	Московская математическая регата
год
Год	2017/18
класс
Класс	11
задача
Номер	11.2.2