Задача 109388

Темы:    [ Правильная пирамида ] [ Объем тетраэдра и пирамиды ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Найдите объём правильной треугольной пирамиды с высотой h и площадью Q боковой грани.

Решение

Пусть M – центр основания ABC правильной треугольной пирамиды ABCD с вершиной D , K – середина AB , DM = h , S_{Δ ABD} = Q . Обозначим AB = BC = AC = a . Тогда

KM = , DK = = ,

Q = S_{Δ ABD} = AB· DK = a, Q2 = a2(h2 + ),

48Q2 = 12a2h2 + a4, a4 + 12a2h2 - 48Q2 = 0.
Из полученного уравнения находим, что
a2 = - 6h2.
Следовательно,
V_ABCD = S_{Δ ABC}· DM = · · h =

= · ( - 6h2)· h = h(-h2).

Ответ

h(-h2) .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8478