Задача 109395

Темы:    [ Правильная пирамида ] [ Объем тетраэдра и пирамиды ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды с боковым ребром b и площадью Q боковой грани.

Решение

Пусть M – центр основания ABCD правильной четырёхугольной пирамиды PABCD с боковыми рёбрами PA = PB = PC = PD = b , K – середина AB . Обозначим AB = BC = CD = AD = a . Тогда

AM = , PK = = ,

Q = S_{Δ ABP} = AB· PK = a = a,

4Q = a, 16Q2 = 4a2b2 - a4, a4 - 4a2b2 + 16Q2 = 0.
Из полученного уравнения находим, что
a2 = 2b2 -
(второй корень не удовлетворяет условию задачи, т.к. b > ). Поэтому
PM = = = =

= .
Следовательно,
V_PABCD = S_ABCD· PM = a2· PM =

= (2b2 - ) = (b2 - ).

Ответ

(b2 - ) .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8485