Задача 109398

Темы:    [ Правильная пирамида ] [ Объем тетраэдра и пирамиды ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды с высотой h и площадью Q боковой грани.

Решение

Пусть M – центр основания ABCD правильной четырёхугольной пирамиды PABCD с вершиной P , K – середина BC , PM = h , S_{Δ BPC} = Q . Обозначим AB = BC = CD = AD = a . Тогда

KM = , PK = = ,

Q = S_{Δ BPC} = BC· PK = a· ,

Q2 = a2(h2 + ), 16Q2 = 4a2h2 + a4, a4 + 4a2h2 - 16Q2 = 0.
Из полученного уравнения находим, что
a2 = - 2h2 = 2( - h2).
Следовательно,
V_PABCD = S_ABCD· PM = a2· h =

= · 2( - h2)· h = h( - h2).

Ответ

h( - h2)

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8488