Задача 109408

Темы:    [ Правильная пирамида ] [ Объем тетраэдра и пирамиды ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Найдите объём правильной шестиугольной пирамиды с высотой h и площадью Q боковой грани.

Решение

Пусть M – центр основания ABCDEF правильной шестиугольной пирамиды PABCDEF с вершиной P , K – середина BC , PM = h , S_{Δ BPC} = Q . Обозначим AB = BC = CD = DE = EF = AF = a . Тогда

KM = , PK = = ,

Q = S_{Δ BPC} = BC· PK = a· ,

Q2 = a2(h2 + ), 16Q2 = 4a2h2 + 3a4, 3a4 + 4a2h2 - 16Q2 = 0.
Из полученного уравнения находим, что
a2 = = ( - h2).
Следовательно,
V_PABCDEF = S_ABCDEF· PM = · · h =

= · · ( - h2)· h = h( - h2).

Ответ

h( - h2) .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8498