Задача 109416

Темы:    [ Правильная пирамида ] [ Объем тетраэдра и пирамиды ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Найдите объём правильной треугольной пирамиды с боковым ребром b и плоским углом ϕ при вершине пирамиды.

Решение

Пусть K – середина стороны BC основания ABC правильной треугольной пирамиды ABCD , M – центр основания ABC . По условию задачи BDC = ϕ . Обозначим AB = BC = AC = a . Из прямоугольных треугольников BKD и BMD находим, что

= BK = BD sin BDK = b sin ,

DM = = = = b.
Следовательно,
V_ABCD = S_{Δ ABC}· DM = · · b =

= · 4b2 sin2 · b = b3 sin2 .

Ответ

b3 sin2 = b3 sin2 .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8506