Задача 109435

Темы:    [ Тождественные преобразования (тригонометрия) ] [ Тригонометрические неравенства ] [ Числовые неравенства. Сравнения чисел. ]

Сложность: 3 Классы: 9,10,11

Условие

Что больше:     или   ?

Решение

  Первый способ. Рассмотрим разность данных чисел и преобразуем ее:

Следовательно,  

  Второй способ. Рассмотрим частное данных чисел:     так как  cos 1° > cos 3°.  Учитывая, что данные числа– положительные, получим, что  

  Третий способ. Рассмотрим функцию     на  (0, ^π/₂),  где  α = ^π/₁₈₀.  На рассматриваемом промежутке
  Следовательно, на  (0, ^π/₂), функция  f(x) возрастает. Данные числа являются значениями этой функции при  x = ^π/₁₈₀  и  x = ^3π/₁₈₀  соответственно, поэтому первое число меньше второго.

Ответ

.

.

Замечания

Неравенство  cos 1° > cos 3°  можно было использовать и в первом способе решения, не доводя преобразования до конца.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Окружная олимпиада (Москва)
год
Дата	2007
класс
Класс	11
задача
Номер	1