Задача 109437

Темы:    [ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ] [ Площадь треугольника (через полупериметр и радиус вписанной или вневписанной окружности) ] [ Неравенство треугольника (прочее) ]

Сложность: 2+ Классы: 8,9

Условие

Точка M лежит на стороне BC треугольника ABC . Известно, что радиус окружности, вписанной в треугольник ABM , в два раза больше радиуса окружности, вписанной в треугольник ACM . Может ли отрезок AM оказаться медианой треугольника ABC ?

Решение

Пусть АМ = m – медиана треугольника ABC , p₁ и r – полупериметр и радиус окружности, вписанной в треугольник ACM , а p₂ и 2r – полупериметр и радиус окружности, вписанной в треугольник AВM (см. рис. 11.3).
Площади треугольников ABM и AСM равны, следовательно p₁· r = p₂· 2r , то есть p₁ = 2p₂ . Получим: =m+AB+BM . Так как BM = CM , то АС = m + 2AB + CM > m + CM . Это противоречит неравенству треугольника для ΔAMC : АС < m + CM .

Ответ

нет, не может.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Окружная олимпиада (Москва)
год
Дата	2007
класс
Класс	11
задача
Номер	3