Задача 109438

Темы:    [ Характеристические свойства и рекуррентные соотношения ] [ Показательные функции и логарифмы (прочее) ]

Сложность: 3- Классы: 8,9,10,11

Условие

Функция f такова, что для любых положительных x и y выполняется равенство f(xy) = f(x) + f(y) . Найдите f(2007) , если f() = 1 .

Решение

При y = 1 данное равенство примет вид: f(x) = f(x) + f(1) , следовательно, f(1) = 0 . Пусть x = 2007 , y = , тогда f(1) = f(2007) + f() , то есть f(2007) = - f() = -1 . Отметим, что простейшей из функций, удовлетворяющих условию, является логарифмическая функция, которую можно задать формулой f(t)=log 1/2007t . Но эта функция – далеко не единственная из возможных, так как не задано условие непрерывности функции f (либо ее монотонности).

Ответ

-1 .

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Окружная олимпиада (Москва)
год
Дата	2007
класс
Класс	11
задача
Номер	4