Задача 110232

Темы:    [ Отношение объемов ] [ Объем призмы ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Треугольная призма ABCA1B1C1 с нижним основанием ABC и боковыми рёбрами AA1 , BB1 , CC1 рассечена плоскостью, проходящей через точки E , F , C , причём точка E является серединой ребра AA1 , точка F лежит на ребре BB1 и BF:FB1 = 1:2 . Найдите объём части призмы ABCA1B1C1 , заключённой между секущей плоскостью и нижним основанием этой призмы, если известно, что объём призмы равен V .

Решение

Пусть боковые рёбра призмы равны 6a , расстояние между боковыми рёбрами AA1 и BB1 равно h , расстояние от вершины C до плоскости грани AA1B1B равно H . Достороим треугольники ABC и A1B1C1 до параллелограммов ABDC и A1B1D1C1 . Получим параллелепипед ABDCA1B1D1C1 с основанием AA1B1B и боковыми рёбрами A1C1 , AC , BD и B1D1 . Пусть V1 – его объём. Тогда

V1 = S_AA1B1B· H = 6ah· H,
поэтому
V = V1 = 3ah· H.
Пусть V2 – искомый объём четырёхугольной пирамиды CABFE с вершиной C . Основание этой пирамиды – трапеция ABFE . Тогда
V2 = S_ABFE· H = · (2a + 3a)h· H =

=ah · H = · 3ah · H = V.

Ответ

V .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	7844