Задача 110255

Темы:    [ Ортогональная проекция (прочее) ] [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

Расстояния от вершин треугольника до некоторой плоскости равны 5, 6 и 7. Найдите расстояние от точки пересечения медиан этого треугольника до той же плоскости. Укажите все возможности.

Решение

Пусть A1 , B1 , C1 , K1 и M1 – ортогональные проекции вершин соответственно A , B и C треугольника ABC , середины K стороны AC и точки M пересечения медиан этого треугольника на плоскость α , причём AA1 = 5 , BB1 = 6 и CC1 = 7 . Если точки A , B и C расположены по одну сторону от плоскости α (рис.1.), то KK1 – средняя линия прямоугольной трапеции AA1C1C с основаниями AA1 и CC1 . Следовательно,

KK1 = (AA1 + CC1) = (5 + 7) = 6.
Четырёхугольник BB1K1K – прямоугольник, в котором BB1 = KK1 = 6 . Точки M и M1 лежат на его противоположных сторонах BK и B1K1 , причём MM1 || BB1 . Поэтому MM1 = BB1 = 6 . Если точки A , C расположены по одну сторону от плоскости α , а точка B – по другую (рис.2), аналогично предыдущему находим, что KK1 = 6 . Четырёхугольник BB1KK1 – параллелограмм, в котором BB1 = KK1 = 6 . Точки M и M1 лежат на его диагоналях BK и B1K1 , причём MM1 || BB1 и = . Пусть прямая MM1 пересекает сторону BK1 в точке D . Треугольник BMD подобен треугольнику BKK1 с коэффициентом , а треугольник K1DM1 – треугольнику K1BB1 с коэффициентом . Поэтому
MM1 = MD - M1D = KK1 - BB1 = 4 - 2 = 2.
Если точки A и B расположены по одну сторону от плоскости α , а точка C – по другую (рис.3), то KK1 – отрезок, соединяющий середины диагоналей AC и A1C1 трапеции AA1CC1 с основаниями AA1 = 5 и CC1 = 7 . Поэтому
KK1 = (CC1 - AA1) = (7 - 5) = 1,
причём точки C и K лежат по одну сторону от плоскости α , а значит, точки B и K – по разные стороны от этой плоскости. Тогда отрезок MM1 соединяет точки M и M1 , лежащие на диагоналях соответственно BK и B1K1 трапеции BB1KK1 с основаниями BB1 = 6 и KK1 = 1 , причём = и MM1 || BB1 . Пусть прямая MM1 пересекает сторону B1K в точке E . Треугольник KME подобен треугольнику KBB1 с коэффициентом , а треугольник B1M1E – треугольнику B1K1K с коэффициентом . Поэтому
MM1 = ME - M1E = BB1 - KK1 = 2 - = .
Наконец, если точки B и C расположены по одну сторону от плоскости α , а точка A – по другую (рис.4), то аналогично предыдущему находим, что KK1 = 1 и точки K и B расположены по одну сторону от плоскости α . Тогда концы отрезка MM1 лежат на боковых сторонах прямоугольной трапеции BB1K1K с основаниями BB1 и KK1 , причём = и MM1 || BB1 . Пусть диагональ BK1 пересекается с отрезком MM1 в точке F . Треугольник BMF подобен треугольнику BKK1 с коэффициентом , а треугольник K1M1F – треугольнику K1B1B с коэффициентом . Поэтому
MM1 = MF + M1F = KK1 + BB1 = + 2 = .

Ответ

6; 2; ; .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8161