Задача 110264

Темы:    [ Перпендикулярность прямой и плоскости (прочее) ] [ Пирамида (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Известно, что некоторая точка M в пространстве равноудалена от вершин плоского многоугольника. Докажите, что этот многоугольник является вписанным, причём центр его описанной окружности есть ортогональная проекция точки M на плоскость многоугольника.

Решение

Если точка M лежит в плоскости данного многоугольника A1A2 ... A_n , то утверждение очевидно. Пусть M1 – ортогональная проекция точки M , не лежащей в плоскости многоугольника, на эту плоскость. Тогда прямая MM1 перпендикулярна плоскости многоугольника. Значит, прямая MM1 перпендикулярна каждой прямой этой плоскости, в частности, прямым M1A1 , M1A2 ,..., M1A_n . Поэтому треугольники A1MM1 , A2MM1 ,..., A_nMM1 – прямоугольные. Они равны по катету ( MM1 – общий катет) и гипотенузе ( MA1 = MA2 = ... = MA_n по условию). Значит, M1A1 = M1A2 = ...= M1A_n , т.е. M1 – центр окружности, описанной около многоугольника A1A2 ... A_n .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8170