Задача 110277

Темы:    [ Двугранный угол ] [ Вневписанные окружности ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

В основании треугольной пирамиды лежит правильный треугольник. Высота пирамиды равна h . Все боковые грани наклонены к плоскости основания под углом α . Найдите площадь основания. (Укажите все возможности.)

Решение

Поскольку боковые грани пирамиды образуют равные двугранные углы с плоскостью основания, высота пирамиды проходит либо через центр вписанной, либо через центр одной из вневписанных окружностей треугольника основания. Пусть высота пирамиды проходит через центр O вписанной окружности основания ABC треугольной пирамиды ABCD , M – середина BC (рис.1). Обозначим AB = BC = AC = a . Так как OM BC , то по теореме о трёх перпендикулярах DM BC , поэтому DMO – линейный угол двугранного угла образованного боковой гранью DBC с плоскостью основания ABC . По условию задачи DMO = α , DO = h . Из прямоугольного треугольника DMO находим, что

OM = DO ctg DMO = h ctg α.
С другой стороны, так как OM – радиус вписанной окружности равностороннего треугольника со стороной a , то OM = . Из уравнения = h ctg α находим, что a = 2h ctg α . Следовательно,
S_{Δ ABC} = = (2h ctg α )2· = 3h2 ctg2α.
Пусть высота пирамиды проходит через центр O1 вневписанной окружности, касающейся стороны BC основания ABC пирамиды ABCD (рис.2). Аналогично предыдущему находим, что
O1M = DO ctg DMO = h ctg α.
С другой стороны, так как O1M – радиус вневписанной окружности равностороннего треугольника со стороной a , то O1M = . Из уравнения = h ctg α находим, что a = h ctg α . Следовательно,
S_{Δ ABC} = = (h ctg α)2· = h2 ctg2α.

Ответ

3h2 ctg2α ; h2 ctg2α .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8273