Задача 110278

Темы:    [ Двугранный угол ] [ Вневписанные окружности ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

В основании пирамиды лежит треугольник со сторонами 3, 4 и 5. Боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 45^o . Чему может быть равна высота пирамиды?

Решение

Поскольку боковые грани пирамиды образуют равные двугранные углы с плоскостью основания, высота пирамиды проходит либо через центр вписанной, либо через центр одной из вневписанных окружностей треугольника основания. Пусть высота пирамиды проходит через центр O вписанной окружности основания ABC данной треугольной пирамиды ABCD , в которой AC = 3 , BC = 4 , AB = 5 . Так как

AC2 + BC2 = 9 + 16 = 25 = AB2,
то треугольник ABC – прямоугольный. Пусть O центр вписанной окружности треугольника ABC (рис.1), r – её радиус, M – точка касания окружности со стороной AB . Тогда
r = (AC + BC - AB) = (3+4-5) = 1.
Так как OM AB , то по теореме о трёх перпендикулярах DM AB , поэтому DMO – линейный угол двугранного угла между боковой гранью DAB и плоскостью основания пирамиды. По условию задачи DMO = 45^o . Из прямоугольного треугольника DMO находим, что
DO = OM = r = 1.
Пусть O_c центр вневписанной окружности треугольника ABC , касающейся стороны AB (рис.2), r_c – её радиус, N – точка касания окружности со стороной AB . Тогда
r_c = (AC + BC + AB) = (3+4+5) = 6.
Аналогично предыдущему из прямоугольного треугольника DNO находим, что
DO_c = ON = r_c = 6.
Пусть O_b – центр вневписанной окружности треугольника ABC , касающейся стороны AC , r_b – её радиус, K – точка касания окружности со стороной AC . Тогда
r_b = (AB + BC - AC) = (5+4-3) = 3.
Из прямоугольного треугольника DKO находим, что
DO_b = OK = r_b = 3.
Пусть O_a центр вневписанной окружности треугольника ABC , касающейся стороны BC , r_a – её радиус, L – точка касания окружности со стороной AC . Тогда
r_a = (AB + AC - BC) = (5+3-4) = 2.
Из прямоугольного треугольника DLO находим, что
DO_a = OL = r_a = 2.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8274