Задача 110280

Темы:    [ Правильный тетраэдр ] [ Трапеции (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

На гранях правильного тетраэдра с ребром a как на основаниях построены правильные тетраэдры. Докажите, что новые вершины построенных тетраэдров являются вершинами правильного тетраэдра. Найдите его ребро.

Решение

Пусть ABCD – правильный тетраэдр со стороной a ; D1 , A1 , B1 и C1 – центры его граней ABC , DBC , ACD и ABD соответственно; D2 , A2 , B2 и C2 – вершины правильных тетраэдров D2ABC , A2BCD , B2ACD и C2BAD . Отрезки DD1 и D2D1 – высоты правильных тетраэдров с общей гранью ABC . Поэтому точки D , D1 и D2 лежат на одной прямой, причём D1 – середина DD2 . Аналогично, A1 – середина отрезка AA2 . Прямые AA1 и DD1 лежат в плоскости AMD , где M – середина BC , причём = = , т.к. A1 и D1 – точки пересечения медиан треугольников BCD и ABC . Поэтому

A1D1 || AD, A1D1 = AD.
Кроме того, точки A1 и D1 – середины диагоналей AA2 и DD2 трапеции ADA2D2 . Значит,
A1D1 = (A2D2-AD),
откуда находим, что
A2D2 = 2A1D1 + AD = a + a = a.
Аналогично находим, что остальные рёбра треугольной пирамиды A2B2C2D2 равны a .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8276