Задача 110291

Темы:    [ Касающиеся сферы ] [ Куб ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Два шара касаются друг друга и граней трёхгранного угла, все плоские углы которого прямые. Найдите отношение радиусов этих шаров.

Решение

Рассмотрим куб с вершиной P. Пусть его диагональ, проведённая из вершины P, образует с плоскостями трёх граней, содержащих вершину P, углы, равные α. Если

ребро куба равно c, то его диагональ равна c

√ 3

. Значит,

sin α =

c c√ 3

=

1 √ 3

.

Пусть касающиеся шары радиусов r и R (r < R) с центрами O₁, O₂ вписаны в трёхгранный угол с вершиной P некоторого куба, M₁ и M₂ ─ точки касания шаров с плоскостью какой-нибудь грани трёхгранного угла, Q ─ точка касания шаров. Тогда O₁M₁ и O₂M₂ ─ перпендикуляры к этой плоскости, точка Q лежит на отрезке O₁O₂, прямая O₁O₂ с этой плоскостью угол α.

Проведём плоскость через параллельные прямые O₁M₁ и O₂M₂. Опустим перпендикуляр O₁F из центра O₁ меньшего шара на прямую O₂M₂. В прямоугольном треугольнике O₁FO₂ известно, что

O₁O₂ = R + r,    O₂F = R − r,    ∠FO₁O₂ = α.

Поэтому

R − r R + r

=

O₂F O₁O₂

= sin ∠FO₁O₂ = sin α =

1 √ 3

.

Тогда

(R − r)√	3	= R + r,    R(√	3	− 1) = r(√	3	+ 1).

Следовательно,

r R

=

√ 3  − 1 √ 3  + 1

= 2 −

√ 3

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8389