ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 110292
Темы:    [ Сфера, вписанная в многогранный угол ]
[ Касательные к сферам ]
[ Симметрия относительно плоскости ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что если в четырёхгранный угол можно вписать сферу, то суммы противоположных плоских углов этого четырёхгранного угла равны.


Решение

  Пусть сфера с центром O касается граней APB, BPC, CPD и APD четырёхгранного угла PABCD с вершиной P в точках K, L, M и N соответственно. Точки K и N симметричны относительно плоскости APO, поэтому  ∠APK = ∠APN.

  Аналогично  ∠BPK = ∠BPL,  ∠CPLCPM,  ∠DPM = ∠DPN.  Следовательно,
APD + ∠CPD = (∠APK + ∠BPK) + (∠CPM + ∠DPM) = (∠APN + ∠BPL) + (∠CPL + ∠DPN) = (∠BPL + ∠CPL) + (∠APN + ∠DPN) = ∠BPC + ∠APD.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 8390

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .