Задача 110299

Темы:    [ Кратчайший путь по поверхности ] [ Прямоугольные параллелепипеды ] [ Развертка помогает решить задачу ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известно, что AB = AA1 = 12 и AD = 30 . Точка M расположена в грани ABB1A1 на расстоянии 1 от середины AB и на равных расстояниях от вершин A и B . Точка N лежит в грани DCC1D1 и расположена симметрично точке M относительно центра параллелепипеда. Найдите длину кратчайшего пути по поверхности параллелепипеда между точками M и N .

Решение

Предположим, что путь пересекает рёбра A1B1 и C1D1 (или рёбра AB и CD ). В этом случае (рис.2) длина кратчайшего пути равна 11 + 30 + 1 = 42 . Предположим, что путь последовательно пересекает рёбра BB1 , B1C1 и C1D1 . Рассмотрим часть такой развёртки параллелепипеда, которая содержит прямоугольники A1B1C1D1 и BB1C1C с общей стороной B1C1 , квадрат CDD1C1 , имеющий общую сторону D1C1 с прямоугольником A1B1C1D1 , и квадрат AA1B1B , имеющий общую сторону BB1 с прямоугольником BB1C1C . По теореме Пифагора находим, что в этом случае кратчайший путь равен = . Если же путь последовательно пересекает рёбра AB , BC , B1C1 и C1D1 , то рассмотрим часть такой развертки параллелепипеда (рис.3), которая содержит прямоугольники ABCD и BCC1B1 с общей стороной BC , прямоугольники A1B1C1D1 и BB1C1C с общей стороной B1C1 , квадрат CDD1C1 , имеющий общую сторону C1D1 с прямоугольником A1B1C1D1 , и квадрат ABB1A1 , имеющий общую сторону AB с прямоугольником ABCD . По теореме Пифагора находим, что в этом случае кратчайший путь равен = 40 . Таким образом, самый короткий из рассмотренных путей равен 40. Остальные возможные пути очевидно длиннее.

Ответ

40.00

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8421