ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 110303
Темы:    [ Кратчайший путь по поверхности ]
[ Правильная пирамида ]
[ Развертка помогает решить задачу ]
Сложность: 3
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Боковое ребро правильной четырёхугольной пирамиды равно b , а плоский угол при вершине равен α . Найдите длину кратчайшего замкнутого пути по поверхности пирамиды, начинающегося и заканчивающегося в вершине основания и пересекающего все боковые рёбра пирамиды.

Решение

Пусть A – вершина основания ABCD правильной четырёхугольной пирамиды PABCD (рис.1). Рассмотрим развёртку боковой поверхности пирамиды, состоящую из четырёх равных равнобедренных треугольников A'P'B' , B'P'C' , C'P'В' и D'P'A'' с углом α , при их общей вершине P' . Если α 45o , то A'P'A'' 180o , поэтому указанный путь из A в A по поверхности пирамиды равен сумме отрезков A'M , MN , NK и KA'' , где точки M , N и K лежат на отрезках B'P' , C'P' и D'P' соответственно (рис.2). В этом случае

A'M + MN + NK + KA'' A'A'' = 2A'P' sin 2α = 2b sin 2α,

а искомый кратчайший путь на рассматриваемой развёртке есть отрезок A'A'' . Если же α > 45o (рис.3), то A'P'N = NP'A'' = 2α > 90o , поэтому
A'M + MN + NK + KA'' = (A'M + MN) + (NK + KA'')


A'N + NA'' A'P' + A''P' = 2b

(в тругольниках A'P'N и A''P'N стороны A'N и A''N лежат против тупых углов). В этом случае искомый кратчайший путь на рассматриваемой развёртке состоит из отрезков A'P' и P'A'' .

Ответ

2b sin 2α , если α 45o ; 2b , если 45o < α < 90o .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 8425

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .