ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Задача 110303
УсловиеБоковое ребро правильной четырёхугольной пирамиды равно b , а плоский угол при вершине равен α . Найдите длину кратчайшего замкнутого пути по поверхности пирамиды, начинающегося и заканчивающегося в вершине основания и пересекающего все боковые рёбра пирамиды.РешениеПусть A – вершина основания ABCD правильной четырёхугольной пирамиды PABCD (рис.1). Рассмотрим развёртку боковой поверхности пирамиды, состоящую из четырёх равных равнобедренных треугольников A'P'B' , B'P'C' , C'P'В' и D'P'A'' с углом α , при их общей вершине P' . Если α 45o , то A'P'A'' 180o , поэтому указанный путь из A в A по поверхности пирамиды равен сумме отрезков A'M , MN , NK и KA'' , где точки M , N и K лежат на отрезках B'P' , C'P' и D'P' соответственно (рис.2). В этом случаеа искомый кратчайший путь на рассматриваемой развёртке есть отрезок A'A'' . Если же α > 45o (рис.3), то A'P'N = NP'A'' = 2α > 90o , поэтому (в тругольниках A'P'N и A''P'N стороны A'N и A''N лежат против тупых углов). В этом случае искомый кратчайший путь на рассматриваемой развёртке состоит из отрезков A'P' и P'A'' . Ответ2b sin 2α , если α 45o ; 2b , если 45o < α < 90o .Источники и прецеденты использования
|
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|