Задача 110313

Темы:    [ Конус ] [ Касательные к сферам ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Основания трёх равных конусов расположены в одной плоскости и касаются друг друга. Осевым сечением каждого конуса является правильный треугольник со стороной a . Найдите радиус шара, касающегося боковой поверхности каждого конуса и плоскости, в которой расположены их основания.

Решение

Пусть Q – точка касания указанного шара с центром O с плоскостью оснований конусов, а O1 , O2 , O3 – центры оснований конусов. Тогда O1O2O3 – равносторонний треугольник со стороной a , поэтому

QO1 = QO2 = QO3 = .
Проведём плоскость через высоту CO1 одного из конусов и параллельный ей радиус QO шара. Получим равносторонний треугольник ABC (осевое сечение конуса) и окружность, касающуюся боковой стороны, например AC , в точке D , а продолжения основания AB – в точке Q . По условию задачи O1A = , CO1 = . Обозначим QO = r , OAQ = ϕ . Тогда
ϕ = (180^o - CAO1) = (180^o - 60^o) = 60^o.
Из прямоугольного треугольника OAQ находим, что
AQ = OQ ctg ϕ = r ctg 60^o = .
Поскольку QO1 = AQ + AO1 , имеем уравнение
= + ,
из которого находим, что r = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8435