Задача 110316

Темы:    [ Касающиеся сферы ] [ Касательные к сферам ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Через центр сферы радиуса R проведена плоскость. Три равных шара касаются сферы, проведённой плоскости и между собой. Найдите радиусы шаров.

Решение

Пусть шары радиуса r касаются плоскости, проходящей через центр O шара радиуса R , в точках A , B и C . Тогда O – центр равностороннего треугольника ABC со стороной 2r . Поэтому

OA = OB = OC = .
Проведём плоскость через точку O и прямую, проходящую через точку A и центр O1 соответствующего шара. Если шары касаются данной сферы внешним образом, то получим окружность радиуса r с центром в точке O1 , касающуюся внешним образом окружности радиуса R , а также касающуюся продолжения диаметра этой окружности в точке A . Из прямоугольного треугольника OAO1 находим, что
OA = = = .
Из уравнения
=
находим, что
r = .
Если шары касаются данной сферы внутренним образом, то, рассуждая аналогично, получим уравнение
= .
Тогда
r = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8438