Задача 110323

Темы:    [ Объем призмы ] [ Боковая поверхность призмы ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

Докажите, что плоскость, пересекающая боковую поверхность правильной 2n -угольной призмы, но не пересекающая её оснований, делит ось призмы, её боковую поверхность и объём в одном и том же отношении.

Решение

Пусть O и Q – центры оснований A1A2.. A2n и B1B2.. B2n правильной призмы ( A1B1 || A2B2 || .. A2nB2n ), C1C2.. C2n – рассматриваемое сечение. Поскольку правильная 2n -угольная призма симметрична относительно её оси OQ , многоугольник C1C2.. C2n симметричен относительно точки M пересечения секущей плоскости с осью OQ . Через вершины многоугольника C1C2.. C2n проведём плоскости, перпендикулярные оси. Рассмотрим те из них, между которыми заключён этот многоугольник. Пусть это будут плоскости, проходящие через вершины C1 и C2n-1 , симметричные относительно точки M . Ясно, что секущая плоскость делит объём и боковую поверхность правильной призмы, заключённой между двумя указанными плоскостями. Отсюда следует утверждение задачи.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8456