Задача 110329

Темы:    [ Правильная пирамида ] [ Двугранный угол ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Найдите объём правильной треугольной пирамиды с радиусом R описанной сферы и углом β боковой грани с плоскостью основания.

Решение

Пусть O – центр сферы радиуса R , описанной около правильной треугольной пирамиды ABCD с вершиной D , K – середина BC (рис.1). Точка O лежит на прямой DM , где M – центр основания ABC . По условию задачи OA = R , DKM = β . Обозначим AB = BC = AC = a . Тогда KM = . Рассмотрим сечение пирамиды и сферы плоскостью, проходящей через точки A , D и M . Получим окружность радиуса R с центром O на прямой MD . Продолжим отрезок DM за точку M до пересечения с окружностью в точке P (рис.2). Из прямоугольных треугольников KMD и APD находим, что

DM = KM tg DKM = · tg β,

AM2 = DM· MP, или = (2R - ),
откуда
a = = = = = .
Следовательно,
V_ABCD = S_{Δ ABC}· DM = · · =

= · a3 tg β = ·()3 tg β = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8512