Задача 110331

Темы:    [ Правильная пирамида ] [ Сфера, описанная около пирамиды ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Найдите объём правильной треугольной пирамиды с радиусом R описанной сферы и плоским углом ϕ при вершине.

Решение

Пусть O – центр сферы радиуса R , описанной около правильной треугольной пирамиды ABCD с вершиной D . Точка O лежит на прямой DM , где M – центр основания ABC , K – середина BC . По условию задачи OA = R , BDC = ϕ . Обозначим AB = BC = AC = a . Тогда BM = . Из прямоугольных треугольников DBK и BMD находим, что

BD = = = ,

DM = = = .
Рассмотрим сечение пирамиды и сферы плоскостью, проходящей через точки A , D и M . Получим окружность радиуса R с центром O на прямой MD . Продолжим отрезок DM за точку M до пересечения с окружностью в точке P . Так как AM – высота прямоугольного треугольника DAP , проведённая из вершины прямого угла, то
AM2 = DM· MP = DM· (2R - DM) = 2R· DM - DM2,
или
= -

= -

+ = ,
откуда находим, что
a = .
Тогда
DM = =· = .
Следовательно,
V_ABCD = S_{Δ ABC}· DM = · · DM = · a2· DM =

=· · = R3 sin2 (3-4 sin2 )2

Ответ

R3 sin2 (3-4 sin2 )2 =R3 sin2 (1+2 cos ϕ)2 .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8514