Задача 110397

Темы:    [ Куб ] [ Объем тетраэдра и пирамиды ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

На диагонали единичного куба взяты точки M и N , а на скрещивающейся с ней диагонали грани – точки P и Q . Известно, что MN = , а PQ = . Найдите объём тетраэдра MNPQ .

Решение

Пусть точки M и N лежат на диагонали DB1 куба ABCDA1B1C1D1 , а точки P и Q – на диагонали A1C1 грани A1B1C1D1 . Так как диагональ куба перпендикулярна скрещивающейся с ней диагонали грани куба, то противолежащие рёбра MN и PQ тетраэдра перпендикулярны. Пусть d – расстояние между прямыми DB1 и A1C1 . Известно, что d = . Известно также, что

V_MNPQ = MN· PQ· d· sin α,
где α – угол между противоположными рёбрами MN и PQ тетраэдра MNPQ . В нашем случае α = 90^o . Следовательно,
V_MNPQ = · · · · 1 = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8583