Задача 110413

Темы:    [ Свойства сечений ] [ Объем помогает решить задачу ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

На рёбрах DA , DB и DC пирамиды ABCD взяты соответственно точки K , L и M , причём DK=DA , DL=DB и DM = DC , G – точка пересечения медиан треугольника ABC . В каком отношении плоскость KLM делит отрезок DG ?

Решение

Обозначим V_ABCD = V . Тогда

V_DKLM= · · · V_ABCD= · · · V = V.
Поскольку G – точка пересечения медиан треугольника ABC , Треугольники AGB , AGC и BGC равновелики, поэтому
V_DAGB = V_DAGC = V_DBGC = V_ABCD
Обозначим = x . Пусть O – точка пересечения отрезка DG с плоскостью KLM . Тогда
V_DKLO= · · · V_ABCD= · · x · V = xV,

V_DMLO= · · · V_ABCD= · · x · V =xV,

V_DKMO= · · · V_ABCD= · · x · V = xV,
Условие принадлежности точек K , L , M и O одной плоскости равносильно равенству
V_DKLO+V_DMLO + V_DKMO=V_DKML,
или
xV+ xV +xV = V.
Отсюда находим, что =x= . Следовательно, = .

Ответ

18:17 .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8599