Задача 110427

Тема:    [ Объем тетраэдра и пирамиды ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

В основании пирамиды лежит прямоугольник. Все боковые рёбра равны. Плоскость пересекает боковые рёбра пирамиды, отсекая на них отрезки a , b , c и d (в порядке обхода и считая от общей вершины. Докажите, что += + .

Решение

Пусть плоскость пересекает боковые рёбра PA , PB , PC и PD четырёхугольной пирамиды PABCD в точках A1 , B1 , C1 и D1 соответственно, причём PA1=a , PB1=b , PC1=c , PD1=d . Обозначим PA=PB=PC=PD=t . Поскольку ABCD – прямоугольник, треугольники ABC и ADC равновелики, поэтому равновелики треугольные пирамиды PABC и PADC . Пусть V_PABC= V_PADC = V . Тогда

V_PA1B1C1 = · · · V_PABC = · · · V,

V_PA1D1С1 = · · · V_PABD = · · · V.
Значит,
V_PA1B1C1 +V_PA1D1С1= (abc+adc).
Аналогично,
V_PA1B1D1 +V_PB1C1D1= (abd+bdc).
таким образом,
(abc+adc) = (abd+bdc),
поэтому abc+adc= abd+bdc . Разделив обе части этого равенства почленно на произведение abcd , получим, что
+= +.
Что и требовалось доказать.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8613