Задача 110455

Темы:    [ Сфера, касающаяся ребер или сторон пирамиды ] [ Теорема косинусов ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

Основанием пирамиды SABC является правильный треугольник ABC со стороной 2 . Рёбра SB и SC равны. Шар касается сторон основания, плоскости грани SBC , а также ребра SA . Чему равен радиус шара, если SA= ?

Решение

Пусть шар радиуса R касается стороны BC основания в точке D (рис.1). Тогда D – единственная общая точка шара с плоскостью грани SBC , т.е. шар касается этой плоскости в точке D . Если шар касается рёбер AB и AC в точках M и N соответственно, то центр O шара лежит в плоскости, проходящей через середину отрезка MN перпендикулярно MN . Поскольку треугольник ABC – равносторонний, то эта плоскость также перпендикулярна ребру BC и проходит через середину BC , а т.к. точка S равноудалена от концов отрезка BC , то вершина S лежит в этой плоскости. Поскольку SD BC , точка D – середина BC . Сечение шара плоскостью основания пирамиды есть круг, вписанный в равносторонний треугольник ABC со стороной a=2 (рис.2). Если r – радиус этого круга, то

r= = = .
Если E – точка пересечения вписанной окружности треугольника ABC с отрезком AD , то
DE = 2r = , AE = AD-DE = -2r = - = .
Пусть шар касается ребра SA в точке K . Рассмотрим сечение пирамиды и сферы плоскостью SAD (рис.3). Получим окружность с центром O радиуса R , проходящую через точки D , K , E и касающуюся SD и SA в точках D и K . По теореме о касательной и секущей
AK = = = .
Тогда
SD = SK = SA-AK = - = .
Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла, поэтому SO – биссектриса угла ASD . Обозначим ASO = DSO = α . По теореме косинусов
cos 2α = cos ASD = =

== = -.
Из уравнения
- = cos 2α = ,
находим, что tg α = . Следовательно,
R= OD = SD tg OSD = · tg α = · = 1.

Ответ

1.00

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8651