ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 110459
Темы:    [ Касающиеся сферы ]
[ Теорема косинусов ]
Сложность: 3
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Три сферы, радиусы которых равны , 1 и 1, попарно касаются друг друга. Через прямую, содержащую центры A и B второй и третьей сфер, проведена плоскость γ так, что центр O первой сферы удалён от этой плоскости на расстояние 1. Найдите угол между проекциями прямых OA и OB на плоскость γ и сравните его с arccos .

Решение

Поскольку вторая и третья сфера равны, они не могут касаться внутренним образом. Значит, AB = 2. Если первая сфера касается одной из равных сфер внешним образом, а второй – внутренним, то центры трёх сфер лежат на одной прямой. Тогда плоскость γ проходит через центр O первой сферы, что противоречит условию задачи. Пусть сферы с центрами A и B касаются сферы с центром O внешним образом. Тогда OA = OB = 1+ . Опустим перпендикуляр OH из точки O на плоскость γ . Из прямоугольных треугольников OAH и OBH находим, что

BH=AH = = =.

Тогда по тереме косинусов
cos AHB = = =


= = = .

Пусть сферы с центрами A и B касаются сферы с центром O внутренним образом. Тогда OA=OB = -1 и аналогично получим, что cos AHB = - . Углом между пересекающимися прямыми называется угловая мера наименьшего из углов, образованных пересечением этих прямых. Поэтому в каждом из двух разобранных случаев косинус угла между прямыми AH и BH равен , а т.к.
= > = ,

то arccos < arccos .

Ответ

arccos .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 8655

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .