ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Задача 110459
УсловиеТри сферы, радиусы которых равны , 1 и 1, попарно касаются друг друга. Через прямую, содержащую центры A и B второй и третьей сфер, проведена плоскость γ так, что центр O первой сферы удалён от этой плоскости на расстояние 1. Найдите угол между проекциями прямых OA и OB на плоскость γ и сравните его с arccos .РешениеПоскольку вторая и третья сфера равны, они не могут касаться внутренним образом. Значит, AB = 2. Если первая сфера касается одной из равных сфер внешним образом, а второй – внутренним, то центры трёх сфер лежат на одной прямой. Тогда плоскость γ проходит через центр O первой сферы, что противоречит условию задачи. Пусть сферы с центрами A и B касаются сферы с центром O внешним образом. Тогда OA = OB = 1+ . Опустим перпендикуляр OH из точки O на плоскость γ . Из прямоугольных треугольников OAH и OBH находим, чтоТогда по тереме косинусов Пусть сферы с центрами A и B касаются сферы с центром O внутренним образом. Тогда OA=OB = -1 и аналогично получим, что cos AHB = - . Углом между пересекающимися прямыми называется угловая мера наименьшего из углов, образованных пересечением этих прямых. Поэтому в каждом из двух разобранных случаев косинус угла между прямыми AH и BH равен , а т.к. то arccos < arccos . Ответarccos .Источники и прецеденты использования
|
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|