Задача 110479

Темы:    [ Прямоугольные параллелепипеды ] [ Сфера, вписанная в трехгранный угол ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 ( AA1|| BB1 || CC1|| DD1 ) известно, что AB=BC=2a , AA1=a . Плоскость сечения проходит через точки B1 и D параллельно прямой AC . Найдите радиус шара, касающегося этого сечения и трёх граней параллелепипеда с общей вершиной B .

Решение

Пусть O – центр указанного шара радиуса R , B1BO= CBO = DBO = α (рис.1). Рассмотрим правильную пирамиду, все плоские углы при вершине которой, – прямые (рис.2). Тогда боковое ребро этой пирамиды образует с высотой также угол α . Пусть боковые рёбра этой пирамиды равны. Тогда стороны основания равны , а проекция бокового ребра на плоскость основания равна , поэтому

sin α = = , cos α = , tg α = .
Данный параллелепипед и его сечение, о котором говорится в условии задачи, симметричны относительно плоскости BB1D1D , поэтому шар касается секущей плоскости в точке P , лежащей на диагонали DB1 , а плоскости грани ABCD – в точке Q , лежащей на диагонали BD квадрата ABCD . Рассмотрим сечение параллелепипеда плоскостью BB1D1D . Получим прямоугольник BB1D1D и окружность радиуса R с центром в точке O , касающуюся катета BD прямоугольного треугольника BDB1 в точке Q , гипотенузы DB1 – в точке P , причём BOQ = α . Положим BDB1=2β . Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла, поэтому BDO = β , а т.к.
tg 2β = = =
и tg 2β = , то из уравнения = находим, что tg β = 3-2 . Далее находим:
DQ = = = R(3+2),

BQ = OQ tg BOQ = OQ tg OBB1 = R tgα= R,
а т.к. OQ=DQ tg β , получим уравнение
R = (2a -R)(3-2),
из которого находим, что R=a .

Ответ

a = .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8675