Задача 110568

Темы:    [ Площадь сечения ] [ Отношение объемов ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD ( S – вершина) AB=3 , высота пирамиды равна 8. Сечения пирамиды двумя параллельными плоскостями, одна из которых проходит через точку A , а другая – через точки B и D , имеют равные площади. В каком отношении делят ребро SC плоскости сечений? Найдите расстояние между плоскостями сечений и объёмы многогранников, на которые пирамида разбивается этими плоскостями.

Решение

По теореме о пересечении двух параллельных плоскостей третьей плоскостью прямая l пересечения плоскости α сечения, проходящей через точку A , и плоскости основания параллельна прямой BD . Пусть прямая l пересекает прямые CB и CD в точках P и Q соответственно (рис.1). Тогда BP = AD как противоположные стороны параллелограмма ADBP , поэтому BP=BC = 3 . Аналогично DQ = DC = 3 . Пусть SH – высота пирамиды. Поскольку в сечении пирамиды плоскостью α получается многоугольник, эта плоскость должна пересечь боковое ребро SC в некоторой точке N . Тогда параллельная ей плоскость β , проходящая через прямую BD , пересекает это ребро в некоторой точке M , причём AN || HM как прямые пересечения параллельных плоскостей плоскостью ASC . Поскольку H – середина AC , точка M – середина отрезка CN . Сечение пирамиды плоскостью β – равнобедренный треугольник BMD . Пусть прямые PN и SB пересекаются в точке K , а прямые QN и SD – в точке L . Тогда четырёхугольник AKNL – сечение пирамиды плоскостью α . Поскольку AC BD , то по теореме о трёх перпендикулярах AN BD , а т.к. KL || BD , то AN KL , т.е. диагонали четырёхугольника AKNL взаимно перпендикулярны. Значит, S_AKNL = AN· KL , а т.к. HM – высота треугольника BMD , то S_{Δ BMD} = BD· HM . По условию задачи AN· KL = BD· HM . Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью BSC (рис.2). Через вершину S проведём прямую, параллельную BC , и продолжим PN до пересечения с этой прямой в точке T . Обозначим CM=MN=t , SN=x , BP=BC=a . Из подобия треугольников SNT и CNP следует, что

ST = PC· = 2a· = ,
а из подобия треугольников SKT и BKP –
= = = .
Тогда из подобия треугольников SKL и SBD следует, что
KL = BD· = BD· .
Поэтому
AN· KL = BD· HM AN· KL = BD· HM

AN· BD· = BD· AN = x=t,
т.е. SN:NM:MC = 1:1:1 . Пусть E – точка пересечения диагоналей сечения AKNL . Тогда точка E лежит на высоте SH пирамиды. Обозначим AH=HC=b . Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью ASC (рис.3). Через вершину S проведём прямую, параллельную AC , и продолжим AN до пересечения с этой прямой в точке R . Из подобия треугольников SNR и CNA следует, что
SR = AC· = 2b· = b,
а из подобия треугольников SER и HEA –
= = = 1,
т.е. E – середина SH . Тогда K – середина SB и L – середина SD . Пусть G – основание перпендикуляра, опущенного H на AN . Тогда GH – перпендикуляр к плоскости α , опущенный из точки, лежащей в плоскости β , параллельной α , значит, длина этого перпендикуляра равна расстоянию между плоскостями α и β . Рассмотрим прямоугольный треугольник AHE , в котором
AH = AC = · 3· = 3, EH = SH = 4, AE = =5.
Отрезок HG – высота этого треугольника, проведённая из вершины прямого угла, следовательно,
HG = = = .
Пусть V – объём пирамиды SABCD , V1 – объём треугольной пирамиды MBCD , V2 – объём четырёхугольной пирамиды SAKNL , V3 – объём части исходной пирамиды, заключённой между плосктями α и β . Тогда
V = AB2· SH = · (3)2· 8 = 48,

V_SBCD = V_SABD = V = 24, V1=V_SBCD = · 24 = 8,

V2 = · · V_SABD+ · · V_SBCD=

=· · · 24 + · · · 24 = 6+2=8,

V3 = V-V1-V2 = 48-8-8 = 32.

Ответ

1:1:1 , , V1=V2=8 , V3=32 .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8767