Задача 110739

Темы:    [ Ортоцентрический тетраэдр ] [ Достроение тетраэдра до параллелепипеда ] [ Объем помогает решить задачу ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

Докажите, что высоты тетраэдра пересекаются в одной точке (ортоцентрический тетраэдр)}тогда и только тогда, когда равны произведения косинусов противоположных двугранных углов тетраэдра.

Решение

Необходимость. Пусть тетраэдр ABCD – ортоцентрический. Тогда

AB2+CD2 = AD2+BC2.
Если двугранные углы при рёбрах AB , CD , AD и BC равны α , β , γ и μ соответственно, то по теореме Бретшнейдера
AB2+CD2 + 2AB· CD ctg α ctg β = AD2+BC2 + 2AD· BC ctg γ ctg μ.
Поэтому
AB· CD ctg α ctg β = AD· BC ctg γ ctg μ,
а т.к. по теореме синусов для тетраэдра
= ,
то
cos α cos β = cos γ cos μ.
Достаточность. Пусть двугранные углы при рёбрах AB , BC , AD и BC тетраэдра ABCD равны α , β , γ и μ соответственно и при этом cos α cos β = cos γ cos μ . По теореме синусов для тетраэдра
= .
Поэтому
AB· CD ctg α ctg β = AD· BC ctg γ ctg μ,
По теореме Бретшнейдера
AB2+CD2 + 2AB· CD ctg α ctg β = AD2+BC2 + 2AD· BC ctg γ ctg μ.
Значит,
AB2+CD2 = AD2+BC2.
Аналогично,
AB2+CD2 = AC2+BD2.
Поэтому
AB2+CD2 = AD2+BC2= AC2+BD2.
Следовательно, тетраэдр ABCD – ортоцентрический.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8092