Задача 110754

Темы:    [ ГМТ - окружность или дуга окружности ] [ Параллельный перенос. Построения и геометрические места точек ] [ Центральная симметрия помогает решить задачу ] [ Пересекающиеся окружности ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Ортогональная (прямоугольная) проекция ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10

Условие

Автор: Заславский А.А.

Даны две окружности, пересекающиеся в точках P и Q . C – произвольная точка одной из окружностей, отличная от P и Q ; A , B – вторые точки пересечения прямых CP , CQ с другой окружностью. Найдите геометрическое место центров окружностей, описанных около треугольников ABC .

Решение

Первое решение. Пусть C₁ – точка, диаметрально противоположная C , C₂ – точка, симметричная C₁ относительно центра O второй окружности. Тогда, так как C₁P AC , а проекцией O на AC является середина отрезка PA , C₂A AC . Аналогично, C₂B AB . Значит, центром описанной около ABC окружности будет середина отрезка CC₂ . При этом CC₂ параллелен отрезку между центрами окружностей и вдвое его длиннее. Следовательно, искомым ГМТ будет окружность, полученная из той, на которой лежит точка C , переносом на вектор, определяемый центрами данных окружностей, без точек, соответствующих P и Q (рис.10.3).

Второе решение. Пусть O₁ и O₂ – центры исходных окружностей, а O – центр окружности ABC . Тогда проекции O₁ и O₂ на AC – середины отрезков CP и PA , поэтому проекция равна /2 . Аналогично, его проекция на CB есть /2 . Значит, проекции и на эти прямые совпадают, а значит, = . Тогда для каждой точки C точка O получается переносом на вектор , а значит, искомое ГМТ – окружность, полученная переносом первой окружности на этот вектор, кроме точек, соответствующих P и Q .

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2007
Класс
Класс	10
задача
Номер	103