Задача 110765

Темы:    [ Теорема синусов ] [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ] [ Вспомогательные подобные треугольники ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10

Условие

Автор: Хачатурян А.В.

На основании AD и боковой стороне AB равнобедренной трапеции ABCD взяты точки E, F соответственно так, что CDEF – также равнобедренная трапеция. Докажите, что  AE·ED = AF·FB.

Решение 1

Из условия следует, что  ∠DCF = ∠CDA = ∠DAB = ∠FEA  (см. рис.). Следовательно,  ∠ BCF = ∠AFE  и
BF : ED = BF : FC = sin∠BCF : sin∠CFB = sin∠AFE : sin∠FNA = AE : AF,  что и требовалось.

Решение 2

Пусть прямая EF пересекает BC в точке K. Тогда  ∠FKC = ∠FEA = ∠CDA = ∠BAD = ∠KFC,  поэтому равнобедренные треугольники CFK и FAE подобны, и  CF : AF = FK : AE = FB : AE.  Отсюда  DE·AE = CF·AE = FB·AF.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2007
Класс
Класс	9
задача
Номер	92