|
|
 |
Условие
В шестиугольнике ABCDEF AB = BC, CD = DE, EF = FA и ∠A = ∠C = ∠E.
Докажите, что главные диагонали шестиугольника пересекаются в одной точке.
Решение
По условию биссектрисы углов B, D и F являются серединными перпендикулярами к отрезкам АС, СЕ и ЕА, поэтому они пересекаются в центре О описанной окружности треугольника АСЕ (см. рис.). Из осевых симметрий относительно прямых ВО, DО и FO следуют равенства:
∠BAO = ∠BCO, ∠DCO = ∠DEO и ∠FAO = ∠FEO. Кроме того, ∠BAO + ∠FAO = ∠А = ∠С = ∠BCO + ∠DCO, значит, ∠FAO = ∠DCO. Аналогично ∠BCO = ∠FEO, значит, эти шесть углов между собой равны. Следовательно, AO, CO и EO – также являются биссектрисами углов данного шестиугольника, то есть O – центр вписанной в него окружности. По теореме Брианшона (см. задачу 56729) главные диагонали этого шестиугольника пересекаются в одной точке.
