|
|
 |
Условие
Постройте треугольник, если даны центр вписанной в него окружности, середина одной из сторон и основание опущенной на эту сторону высоты.Решение
Первое решение.Пусть $C_0$ – середина стороны $AB$ треугольника $ABC$, $C_1$, $C_2$ – основания проведенных к этой стороне высоты и биссектрисы, $C_3$, $C_4$ – точки ее касания с вписанной и вневписанной окружностями. Тогда $C_0 C_3 = C_0 C_4$. Перпендикуляры к $AB$, проведенные из точек $C_1$, $C_3$, $C_4$, пересекают биссектрису угла $C$ в вершине и центрах $I$, $I'$ вписанной и вневписанной окружностей. Так как точки $C$ и $C_2$ являются центрами гомотетии этих окружностей, $CI / C_2 I = C I'/ C_2 I'$. Значит, $C_1 C_3 /C_2 C_3 = C_1 C_4 / C_2 C_4$, т.е. $C_0 C_3^2 = C_0 C_1·C_0 C_2$.
Пусть теперь даны точки $I$, $C_0$, $C_1$. Тогда найдем точки $C_3$ как проекцию $I$ на $C_0 C_1$ и $C_2$, пользуясь полученным выше соотношением. Теперь точка $C$ находится как пересечение $C_2 I$ и перпендикуляра к $C_0 C_1$, проведенного через $C_1$. Далее, точка $C'$ пересечения $CI$ и перпендикуляра к $C_0 C_1$, проведенного через $C_0$, лежит на описанной окружности треугольника (см. рис.). Центр этой окружности является пересечением $C'C_0$ и серединного перпендикуляра к $CC'$; поэтому, проведя эту окружность и найдя точки ее пересечения с $C_0 C_1$, мы построим искомый треугольник.
Второе решение.
Пусть $M$, $H$ – основания медианы и высоты из вершины $C$ треугольника $ABC$, $I$ – центр вписанной окружности, $C'$ и $C''$ – точки касания вписанной и вневписанной окружностей со стороной $AB$, $K$ – точка на вписанной окружности, диаметрально противоположная $C'$. Из гомотетии, переводящей вписанную окружность во вневписанную, получаем, что $C$, $K$, $C''$ лежат на одной прямой. Далее, $MC' = MC''$, поэтому $IM$ – средняя линия в треугольнике $KC'C''$ и $IM || C''C$.
Теперь последовательно восстанавливаем прямую $AB=MH$; вписанную окружность и точку $C'$; точки $C''$ и $K$ как симметричные $C'$ относительно $M$ и $I$; вершину $C$ как пересечение перпендикуляра к $AB$ в точке $H$ и прямой $C''K$; точки $A$ и $B$, как пересечения касательных ко вписанной окружности из точки $C$ (см. рис.).
Третье решение. Пусть $H$ и $M$ — основания высоты и медианы соответственно, проведённых из вершины $C$ треугольника $ABC$. Проведём прямую $HM$ — она содержит сторону $AB$. Опустим из центра $I$ вписанной окружности треугольника $ABC$ перпендикуляр $IN$ на прямую $HM$ и восстановим вписанную окружность $\omega$. Заметим, что окружность 9 точек $\Omega$ треугольника $ABC$ проходит через точки $H$ и $M$ и касается вписанной окружности треугольника $ABC$. Тогда инверсия с центром в точке $N$ переведёт вписанную окружность в прямую, параллельную $MH$, а $\Omega$ — в окружность, проходящую через образы $H'$, $M'$ точек $H$, $M$ и касающуюся прямой $\ell$ (образа вписанной окружности) в точке $K$ её пересечения с серединным перпендикуляром к $H'M'$. Построив окружность по точкам $H'$, $M'$ и $K$ и её образ при инверсии, получим окружность 9 точек исходного треугольника.
Поскольку радиус окружности 9 точек в 2 раза меньше радиуса описанной окружности треугольника, мы можем построить радиус описанной окружности, а также с помощью формулы Эйлера построить отрезок длины $d$: $d^2 = R^2 - 2Rr$, взяв окружность радиуса $(R-r)$, отметив на её диаметре точку на расстоянии $R$ от одного из его концов и восстановив в этой точке перпендикуляр к диаметру (см. рисунок). По теореме Пифагора, квадрат отрезка этого перпендикуляра равен $(R-r)^2 - (R-r-R)^2 = R^2 - 2 Rr = d^2.$
Итак, построим окружность $\Omega_d$ радиуса $d$ с центром в $I$ — на этой окружности лежит центр $O$ описанной окружности треугольника $ABC$. В то же время, $O$ центрально симметрична ортоцентру $G$ треугольника $ABC$ относительно центра $E$ окружности $\Omega$; $G$, в свою очередь, лежит на перпендикуляре $h$ к прямой $HM$, восставленном в точке $H$. Тогда ортоцентр является одной из точек пересечения $O_1$ и $O_2$ окружности $\Omega_d$ и прямой, центрально симметричной $h$ относительно $E$.
Далее, зная радиус $R$ описанной окружности треугольника $ABC$, построим окружности $\Omega_1$ и $\Omega_2$ радиуса $R$ с центрами в точках $O_1$ и $O_2$ соответсвенно. Из каждой из возможных точек $A$ и $B$, полученных как пересечения этих окружностей с прямой $MH$, проведём касательные к вписанной окружности $\omega.$ Тогда точка $C$ является точкой пересечения этих касательных. Осталось проверить для каждого из возможных треугольников $ABC$, являются ли точки $H$ и $M$ соответственно основаниями высоты и медианы, проведённых из точки $C$.
