Условие
Куб с ребром
2
n+1
разрезают на
кубики с ребром 1 и бруски размера
2
x 2
x 1
. Какое
наименьшее количество единичных кубиков может при этом получиться?
Решение
Разрежем куб плоскостями, параллельными
какой-нибудь грани, на слои
(2
n+1)
x (2
n+1)
x 1
. Так как
любой полукирпич
2
x 2
x 1
пересекает каждый слой по
четному числу единичных кубиков, в каждом слое должен содержаться
хотя бы один кубик, т.е. общее число кубиков не меньше, чем
2
n+1
.
Покажем по индукции, что разрезание с
2
n+1
единичным кубиком
существует. Предположим, что куб с ребром
2
n-1
разрезать
требуемым образом можно. Рассмотрим оболочку, которая получается,
если из куба с ребром
2
n+1
удалить все внутренние кубики. Если
удалить из этой оболочки два кубика, стоящие в противоположных
углах, то оставшуюся часть
можно разбить на 6 квадратов
2
nx 2
nx 1
, каждый из которых содержит один из оставшихся угловых
кубиков. Следовательно, оболочку можно разрезать на полукирпичи и
два единичных кубика, а внутренность куба по предположению
индукции – на полукирпичи и
2
n-1
кубик.
Источники и прецеденты использования
|
олимпиада |
Название |
Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина |
год |
Год |
2007 |
Класс |
Класс |
9 |
задача |
Номер |
96 |