Задача 110778

Темы:    [ Ломаные ] [ Теорема синусов ] [ Системы точек ]

Сложность: 4 Классы: 9,10

Условие

Автор: Hiacinthos

Пять прямых проходят через одну точку. Докажите, что существует замкнутая пятизвенная ломаная, вершины и середины звеньев которой лежат на этих прямых, причём на каждой прямой лежит ровно по одной вершине.

Решение

Пусть O – точка пересечения прямых. Возьмём на прямой l₁ точку A₁ и найдём на l₃ такую точку A₂, что середина B отрезка A₁A₂ лежит на прямой l₂ (см. рис.). Применяя теорему синусов к треугольникам OA₁B и OA₂B, получаем, что  

Аналогично по точке A₂ построим на прямой l₅ такую точку A₃, что середина A₂A₃ лежит на l₄ и т.д. Перемножив полученные соотношения, получим, что A₆ совпадает с A₁.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2006
Класс
Класс	10
задача
Номер	101