Задача 110795

Темы:    [ Теорема о группировке масс ] [ Гомотетичные многоугольники ] [ Теорема синусов ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Четырехугольник: вычисления, метрические соотношения. ]

Сложность: 6+ Классы: 9,10,11

Условие

Авторы: Ганин Я., Rideau F.

Дан выпуклый четырехугольник ABCD . A' , B' , C' , D' – ортоцентры треугольников BCD , CDA , DAB , ABC . Докажите, что в четырехугольниках ABCD и A'B'C'D' соответствующие диагонали делятся точками пересечения в одном и том же отношении.

Решение

Используем следующее утверждение. Пусть KLMN – выпуклый четырехугольник; точки X , Y делят отрезки KL и NM в отношении α ; точки U , V делят в отрезки LM и KN в отношении β . Тогда точка пересечения отрезков XY и UV делит первый из них в отношении β , а второй в отношении α (рис.9.6)

Доказательство этого утверждения легко получить методом масс. Пусть теперь A₁ , B₁ , C₁ , D₁ – центры тяжести треугольников BCD , CDA , DAB , ABC ; A₂ , B₂ , C₂ , D₂ – центры описанных около них окружностей. Четырехугольник A₁B₁C₁D₁ гомотетичен четырехугольнику ABCD относительно его центра тяжести с коэффициентом - . Следовательно, соответствующие диагонали этих четырехугольников делятся точками пересечения в одинаковых отношениях. Докажем, что в тех же отношениях делят друг друга диагонали четырехугольника A₂B₂C₂D₂ . Пусть P – точка пересечения диагоналей четырехугольника ABCD . Тогда
== .
Поскольку стороны и диагонали четырехугольника A₂B₂C₂D₂ перпендикулярны сторонам и диагоналям четырехугольника ABCD (например, точки A₂ , B₂ лежат на серединном перпендикуляре к CD ), в таком же отношении делится и диагональ A₂C₂ . Пусть теперь P₁ , P₂ – точки пересечения диагоналей четырехугольников A₁B₁C₁D₁ , A₂B₂C₂D₂ ; P' – точка на отрезке A'C' , делящая его в отношении A₂P₂/P₂C₂ . Так как точки A₁ , C₁ лежат на отрезках A'A₂ , C'C₂ и делят их в отношении 2:1 , из сформулированного утверждения вытекает, что точка P₁ также делит отрезок P'P₂ в отношении 2:1 . Рассмотрев аналогичную точку на отрезке B'D' , получим тот же результат. Отсюда следует, что P' – точка пересечения диагоналей четырехугольника A'B'C'D' , причем диагонали делятся этой точкой в том же отношении, что и в четырехугольниках A₁B₁C₁D₁ , A₂B₂C₂D₂ и ABCD .

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2006
Класс
Класс	9
задача
Номер	96