Задача 110803

Темы:    [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Прямая Эйлера и окружность девяти точек ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Высоты AA₁, BB₁ и CC₁ остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H; точки A₂, B₂ и C₂ – середины отрезков AH, BH и CH соответственно. Рассмотрим шестиугольник, образованный пересечением треугольников A₁B₁C₁ и A₂B₂C₂. Докажите, что его диагонали, соединяющие противоположные вершины, пересекаются в одной точке.

Решение

  Пусть M – точка пересечения отрезков B₁C₁ и A₂C₂, а N – отрезков A₁C₁ и B₂C₂. Если мы докажем, что  ∠MHB₁ = NHB₂,  это будет означать, что диагональ MN указанного шестиугольника проходит через точку H.
  Обозначим  ∠MHB₁ = α,  ∠NHA₁ = β.  Отрезок A₂C₂ – средняя линия треугольника AHC, поэтому A₂C₂ – серединный перпендикуляр к отрезку HB₁, значит, треугольник HMB₁ – равнобедренный, а так как высота BB₁ треугольника ABC делит пополам угол его ортотреугольника (см. задачу 52866), то  ∠BB₁A₁ = ∠MB₁H = ∠MHB₁ = α.  Точки A₁ и B₁ лежат на окружности с диаметром AB, поэтому  ∠BAA₁ = ∠BB₁A₁ = α.  Тогда  ∠B₂A₂A₁ = ∠BB₁A₁ = α.  Аналогично  ∠A₂B₂B₁ = ∠NHA = β. По теореме о внешнем угле треугольника  ∠A₁HB₂ = α + β,  значит,
∠NHB₂ = ∠A₁HB₂ – ∠NHA₁ = (α + β) – β = α = ∠MHB₁,  что и требовалось.
  Аналогично доказывается, что и две остальные большие диагонали шестиугольника проходят через точку H.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	5718