Задача 110804

Тема:    [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

На сторонах AB и AC остроугольного треугольника ABC взяты точки C2 и B2 соответственно, причём отрезок BC2 равен высоте BB1 , а отрезок CB2 – высоте CC1 . Докажите, что точки B1 , B2 , C1 и C2 лежат на одной окружности.

Решение

BAC – общий угол прямоугольных треугольников AB1B и AC1C , поэтому ABB1 = ACC1 . Угол при вершине B равнобедренного треугольника B1BC2 равен углу при вершине C равнобедренного треугольника C1CB2 , значит, соответственно равны и углы при основаниях, т.е. BC2B1 = CB2C1 . Отрезок C1B1 виден из точек B2 и C2 под одним и тем же углом, причем эти точки лежат по одну сторону от прямой B1C1 , следовательно, точки B1 , B2 , C1 и C2 лежат на одной окружности.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	5719